જો $f(x) = \begin{cases} -x-\frac{\pi}{2}, & x \leq-\frac{\pi}{2} \\ -\cos x, & -\frac{\pi}{2} < x \leq 0 \\ x-1, & 0 < x \leq 1 \\ \ln x, & x > 1 \end{cases}$,તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$(A)$ $f(x)$ એ $x=-\frac{\pi}{2}$ આગળ સતત છે
$(B)$ $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય નથી
$(C)$ $f(x)$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય છે
$(D)$ $f(x)$ એ $x=-\frac{3}{2}$ આગળ વિકલનીય છે

જો વિધેય $f$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત હોય:
$\begin{cases} f(x) = x-1, & \text{જ્યારે } -\infty < x < 1 \\ f(x) = 0, & \text{જ્યારે } x=1 \\ f(x) = x^3-1, & \text{જ્યારે } 1 < x < \infty \end{cases}$
તો $x=1$ આગળ,$f$ એ:

વિધેય $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & x \ge 1 \\ x^3 & 0 \le x < 1 \\ \frac{x^3}{3} - 4x & x < 0 \end{cases}$ માટે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

ધારો કે $f$ એક વિકલનીય વિધેય છે અને $x = 3$ આગળ $y = f(x)$ ના આલેખના અભિલંબનું સમીકરણ $3y = x + 18$ છે. જો $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( {3 + {{\left( {4{{\tan }^{ - 1}}x - \pi } \right)}^2}} \right) - f\left( {3 + {{\left( {f\left( 3 \right) - x - 6} \right)}^2}} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {x - 1} \right)}}$ હોય,તો:

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ નીચે મુજબ આપેલ છે:
$f(x) = \begin{cases} x^5+5x^4+10x^3+10x^2+3x+1, & x < 0 \\ x^2-x+1, & 0 \leq x < 1 \\ \frac{2}{3}x^3-4x^2+7x-\frac{8}{3}, & 1 \leq x < 3 \\ (x-2)\log_e(x-2)-x+\frac{10}{3}, & x \geq 3 \end{cases}$
તો નીચેનામાંથી કયા વિકલ્પો સાચા છે?
$(1)$ $f^{\prime}$ ને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે
$(2)$ $f$ વ્યાપ્ત (onto) છે
$(3)$ $f$ એ $(-\infty, 0)$ પર વધતું વિધેય છે
$(4)$ $f^{\prime}$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી

$f : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = |\log_{e} x| - |x - 1|$ માટે નીચેના ત્રણ વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(I)$ $f$ એ તમામ $x > 0$ માટે વિકલનીય છે.
$(II)$ $f$ એ $(0, 1)$ માં વધતું વિધેય છે.
$(III)$ $f$ એ $(1, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે.
તો: